Use o teste da derivada segunda para determinar os pontos de náximo relativo, mínimo relativo e os pontos de sela da função
f(x, y)=x^{2}+y^{3}+x-6 y^{2}-3,
se existirem.

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o teste da derivada segunda (através da matriz Hessiana) para classificar pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+y^{3}+x-6y^{2}-3.
Ou seja, primeiro vamos encontrar onde \nabla f=(0,0), depois montar a Hessiana
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}
e avaliar seu determinante e f_{xx} em cada ponto crítico para decidir se é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x}=2x+1, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-12y.

Passo 3

Resolvendo f_x=0 e f_y=0 simultaneamente:
2x+1=0\;\Longrightarrow\;x=-\tfrac12, \qquad 3y^{2}-12y=3y(y-4)=0\;\Longrightarrow\;y=0\text{ ou }y=4.
Logo os pontos críticos são
\bigl(-\tfrac12,0\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(-\tfrac12,4\bigr).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana e seu determinante:
f_{xx}=2, \quad f_{xy}=f_{yx}=0, \quad f_{yy}=6y-12,
D(x,y)=\det H = f_{xx}\,f_{yy}-f_{xy}^{2} =2\,(6y-12)=12y-24.

Passo 5

Avaliamos D e f_{xx} em cada ponto:
  1. Em \bigl(-\tfrac12,0\bigr):
D=12\cdot0-24=-24<0
Como D<0, é ponto de sela.
2. Em \bigl(-\tfrac12,4\bigr):
D=12\cdot4-24=24>0, \quad f_{xx}=2>0
Como D>0 e f_{xx}>0, é mínimo relativo.
Não há ponto em que D>0 e f_{xx}<0, logo não há máximo relativo.

Resposta

Ponto de mínimo relativo: \bigl(-\tfrac12,4\bigr).
Ponto de sela: \bigl(-\tfrac12,0\bigr).
Não há ponto de máximo relativo.

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