Determine o domínio das seguintes funções e esboce-os geometricamente.
(b) f(x, y)=\ln (y-3 x)

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o domínio de
f(x,y)=\ln(y-3x)
e faça um esboço geométrico. O ponto-chave é lembrar a definição de domínio da função logarítmica em uma variável real.

Passo 2

Para a função \ln(u) ser bem-definida em \mathbb{R}, é preciso ter u>0. Aqui u=y-3x, então exigimos
y-3x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad y>3x.
Logo o domínio de f é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>3x\}.

Passo 3

Geometricamente, a reta y=3x é a fronteira do domínio e não faz parte dele. O conjunto D é o semiplano aberto que fica acima dessa reta (isto é, a região “para cima” de y=3x), sem incluir a própria reta.

Resposta

D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>3x\}.

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