Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=x y^{2}+3 y x^{5}-x^{4}+y^{-5}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x\,y^{2}+3\,y\,x^{5}-x^{4}+y^{-5}.
Para isso, ao calcular \partial f/\partial x tratamos y como constante, e ao calcular \partial f/\partial y tratamos x como constante.

Passo 2

Cálculo de \partial f/\partial x:
– Derivando x\,y^{2} em relação a x (com y constante) vem y^{2}.
– Derivando 3\,y\,x^{5} vem 3\,y\cdot5\,x^{4}=15\,y\,x^{4}.
– Derivando -x^{4} vem -4\,x^{3}.
– Derivando y^{-5} em relação a x vem 0.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^{2}+15\,y\,x^{4}-4\,x^{3}.

Passo 3

Cálculo de \partial f/\partial y:
– Derivando x\,y^{2} em relação a y (com x constante) vem x\cdot2\,y=2\,x\,y.
– Derivando 3\,y\,x^{5} vem 3\,x^{5}.
– Derivando -x^{4} vem 0.
– Derivando y^{-5} vem -5\,y^{-6}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2\,x\,y+3\,x^{5}-5\,y^{-6}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^{2}+15\,y\,x^{4}-4\,x^{3}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2\,x\,y+3\,x^{5}-5\,y^{-6}.

Exercícios relacionados