Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=e^{2 x y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y)=e^{2xy}. O conteúdo aqui é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia, já que temos uma função composta.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante. Seja u(x,y)=2xy. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}e^{u} = e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \frac{\partial u}{\partial x}=2y, obtemos
f_x(x,y)=2y\,e^{2xy}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e usamos novamente u(x,y)=2xy. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Como \frac{\partial u}{\partial y}=2x, obtemos
f_y(x,y)=2x\,e^{2xy}.

Resposta

f_x(x,y)=2y\,e^{2xy}, \quad f_y(x,y)=2x\,e^{2xy}.

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