Verifique se a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{lr}x^{2}+y^{2}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 2, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right., é continua em ( 0,0 ).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} x^{2}+y^{2},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 2,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de continuidade em funções de duas variáveis: f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0).

Passo 2

Quando (x,y)\neq(0,0), vale f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^{2}+y^{2}) =0,
pois x^{2}\to0 e y^{2}\to0 ao aproximar (x,y) de (0,0).

Passo 3

O valor de f em (0,0) é dado como f(0,0)=2. Como
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\neq2=f(0,0),
não se verifica a condição de continuidade em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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