(1) Calcule a derivada de f(x)=x^3+1 em um ponto x0 qualquer.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^3+1 num ponto qualquer x0. O conteúdo é cálculo de derivada usando a definição pelo limite da diferença quociente:
f'(x0) = limhto0 f(x0+h) - f(x0)h

Passo 2

Vamos aplicar a definição. Primeiro escrevemos
f'(x0) = limhto0 (x0+h)^3 + 1 - l(x0^3+1r)h
Note que o “ +1” cancela:
(x0+h)^3 + 1 - l(x0^3+1r) = (x0+h)^3 - x0^3

Passo 3

Expandimos (x0+h)^3:
(x0+h)^3 = x0^3 + 3x0^2h + 3x0h^2 + h^3
Então o numerador fica
x0^3 + 3x0^2h + 3x0h^2 + h^3 - x0^3 = 3x0^2h + 3x0h^2 + h^3
Dividindo por h e fazendo hto0:
3x0^2h + 3x0h^2 + h^3h = 3x0^2 + 3x0h + h^2 ;xrightarrow[hto0];3x0^2

Resposta

A derivada de f em x0 é
f'(x0) = 3x0^2

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