Sejam y1(x)=x^2 e y2(x)=x|x|. Mostre que y1 e y2 são soluções da equação diferencial homogênea:
x^2 y^prime prime-x(x-1) y^prime+(x+2) y=0
e se W(y1, y2)(1)=4, então qual o valor de se W(y1, y2)(-1)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que as funções y1(x) = x^2 e y2(x) = x|x| são soluções da equação diferencial homogênea:
x^2 y'' - x(x-1) y' + (x+2) y = 0
Além disso, nos dá o valor do Wronskiano W(y1, y2)(1) = 4 e quer saber qual é o valor de W(y1, y2)(-1) . Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como verificar se uma função é solução de uma equação diferencial e como calcular o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se y1(x) = x^2 é solução da equação. Para isso, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de y1 :
y1'(x) = 2x
y1''(x) = 2
Agora, substituímos y1 , y1' e y1'' na equação diferencial:
x^2(2) - x(x-1)(2x) + (x+2)(x^2) = 0
Vamos simplificar isso:
2x^2 - 2x^2(x - 1) + (x+2)x^2 = 0
2x^2 - 2x^3 + 2x^2 + x^3 + 2x^2 = 0
(2x^2 + 2x^2 + 2x^2) + (-2x^3 + x^3) = 0
6x^2 - x^3 = 0
Parece que houve um erro de cálculo. Vamos refazer:
Substituindo novamente:
x^2(2) - x(x-1)(2x) + (x+2)(x^2) = 2x^2 - 2x^2(x - 1) + x^3 + 2x^2
= 2x^2 - 2x^3 + 2x^2 + x^3 + 2x^2
= (2x^2 + 2x^2 + 2x^2) + (-2x^3 + x^3)
= 6x^2 - x^3
Percebi que cometi um erro inicial. De fato, essa substituição não resulta em zero, o que indica que y1(x) = x^2 não parece ser uma solução. Entretanto, isso contraria o enunciado. Portanto, vamos verificar novamente os cálculos ou a interpretação da função.
Na verdade, a segunda derivada de y1 é 2, e a substituição correta deveria anular a equação. Vamos reavaliar:
x^2(2) - x(x - 1)(2x) + (x + 2)x^2 = 2x^2 - 2x^2(x - 1) + x^3 + 2x^2
= 2x^2 - 2x^3 + 2x^2 + x^3 + 2x^2
= (2x^2 + 2x^2 + 2x^2) + (-2x^3 + x^3)
= 6x^2 - x^3
Parece que há um desacordo. Pode ser que o enunciado contenha um erro, ou que a interpretação esteja incorreta. Como o enunciado afirma que y1 é solução, assumiremos que a equação deveria igualar a zero de forma adequada.

Passo 3

Agora, vamos verificar y2(x) = x|x| . Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de y2 :
Para x > 0 :
y2(x) = x cdot x = x^2
y2'(x) = 2x
y2''(x) = 2
Para x < 0 :
y2(x) = x cdot (-x) = -x^2
y2'(x) = -2x
y2''(x) = -2
Agora, substituímos y2 , y2' e y2'' na equação diferencial para x > 0 e x < 0 :
Para x > 0 :
x^2(2) - x(x-1)(2x) + (x+2)x^2 = 0
2x^2 - 2x^2(x - 1) + x^3 + 2x^2 = 0
2x^2 - 2x^3 + 2x^2 + x^3 + 2x^2 = 0
6x^2 - x^3 = 0
Para x < 0 :
x^2(-2) - x(x-1)(-2x) + (x+2)(-x^2) = 0
-2x^2 + 2x^2(x - 1) - x^3 - 2x^2 = 0
-2x^2 + 2x^3 - 2x^2 - x^3 - 2x^2 = 0
(-2x^2 - 2x^2 - 2x^2) + (2x^3 - x^3) = 0
-6x^2 + x^3 = 0
Parece que, novamente, a substituição não está anulando a equação. É possível que a equação diferencial ou as funções fornecidas tenham algum detalhe que não foi considerado corretamente. Vamos focar agora na segunda parte do exercício, assumindo que as funções são soluções conforme o enunciado.

Passo 4

Agora, vamos calcular o Wronskiano W(y1, y2)(x) . O Wronskiano é dado por:
W(y1, y2) = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1'
Vamos calcular para x = 1 e x = -1 .
Para x = 1 :
y1(1) = 1^2 = 1
y1'(1) = 2(1) = 2
y2(1) = 1 cdot |1| = 1
y2'(1) = 2(1) = 2
W(1) = (1)(2) - (1)(2) = 2 - 2 = 0
No entanto, o enunciado diz que W(1) = 4 , o que sugere que devemos considerar a expressão geral do Wronskiano.
De acordo com a fórmula de Abel para equações diferenciais lineares de segunda ordem:
W(x) = W(x0) exp(-integralx0^x P(t) dt)
Onde P(x) é o coeficiente de y' na equação diferencial reescrita na forma padrão:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
Vamos reescrever a equação:
x^2 y'' - x(x-1) y' + (x+2) y = 0
y'' - (x-1)x y' + (x+2)x^2 y = 0
Portanto, P(x) = -(x-1)x .
Agora, aplicando a fórmula de Abel:
W(x) = W(1) exp(-integral1^x -(t-1)t dt) = 4 exp(integral1^x t-1t dt)
Vamos calcular a integral:
integral t-1t dt = integral (1 - 1t) dt = t - ln|t|
Então,
W(x) = 4 exp( [ t - ln|t| ]1^x ) = 4 exp( (x - ln|x|) - (1 - ln|1|) )
= 4 exp( x - ln|x| - 1 ) = 4e^x-1 cdot 1|x|
Para x = -1 :
W(-1) = 4e^-1-1 cdot 1|-1| = 4e^-2 cdot 1 = 4e^2

Resposta

O valor de W(y1, y2)(-1) é dfrac4e^2 .

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