Sejam e . Mostre que e são soluções da equação diferencial homogênea:
e se , então qual o valor de se ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que as funções e são soluções da equação diferencial homogênea:
Além disso, nos dá o valor do Wronskiano e quer saber qual é o valor de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como verificar se uma função é solução de uma equação diferencial e como calcular o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é solução da equação. Para isso, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Vamos simplificar isso:
Parece que houve um erro de cálculo. Vamos refazer:
Substituindo novamente:
Percebi que cometi um erro inicial. De fato, essa substituição não resulta em zero, o que indica que não parece ser uma solução. Entretanto, isso contraria o enunciado. Portanto, vamos verificar novamente os cálculos ou a interpretação da função.
Na verdade, a segunda derivada de é 2, e a substituição correta deveria anular a equação. Vamos reavaliar:
Parece que há um desacordo. Pode ser que o enunciado contenha um erro, ou que a interpretação esteja incorreta. Como o enunciado afirma que é solução, assumiremos que a equação deveria igualar a zero de forma adequada.
Passo 3
Agora, vamos verificar . Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de :
Para :
Para :
Agora, substituímos , e na equação diferencial para e :
Para :
Para :
Parece que, novamente, a substituição não está anulando a equação. É possível que a equação diferencial ou as funções fornecidas tenham algum detalhe que não foi considerado corretamente. Vamos focar agora na segunda parte do exercício, assumindo que as funções são soluções conforme o enunciado.
Passo 4
Agora, vamos calcular o Wronskiano . O Wronskiano é dado por:
Vamos calcular para x = 1 e x = -1 .
Para x = 1 :
y1(1) = 1^2 = 1
y1'(1) = 2(1) = 2
y2(1) = 1 cdot |1| = 1
y2'(1) = 2(1) = 2
W(1) = (1)(2) - (1)(2) = 2 - 2 = 0
No entanto, o enunciado diz que W(1) = 4 , o que sugere que devemos considerar a expressão geral do Wronskiano.
De acordo com a fórmula de Abel para equações diferenciais lineares de segunda ordem:
W(x) = W(x0) exp(-integralx0^x P(t) dt)
Onde P(x) é o coeficiente de y' na equação diferencial reescrita na forma padrão: