Se f(x, y, z)=y \operatorname{sen}(y z), determine a derivada direcional de f no ponto (1,3,0) na direção do vetor a=(1,2,-1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=y\sin(yz) no ponto (1,3,0) na direção de \mathbf a=(1,2,-1). Vamos usar a definição que diz que a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada.

Passo 2

Calcular o gradiente
\nabla f = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).

Passo 3

Derivadas parciais de f(x,y,z)=y\sin(yz):
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=0 pois f não depende de x.\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \sin(yz)+y\cos(yz) \cdot z pelo produto e regra da cadeia.\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} = y\cos(yz) \cdot y = y^2 \cos(yz).

Passo 4

Avaliar em (1,3,0). Como \sin(3\cdot0)=0 e \cos(3\cdot0)=1, obtemos
\nabla f(1,3,0)=(0,\;0+3\cdot1\cdot0,\;3^2\cdot1)=(0,0,9).

Passo 5

O vetor unitário em direção de \mathbf a é
\mathbf u=\frac{\mathbf a}{\|\mathbf a\|},\quad \|\mathbf a\|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{6},
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\mathbf u=\Bigl(\tfrac1{\sqrt6},\,\tfrac2{\sqrt6},\,-\tfrac1{\sqrt6}\Bigr).

Passo 6

A derivada direcional é
D_{\mathbf u}f(1,3,0) =\nabla f(1,3,0)\cdot \mathbf u =0\cdot\tfrac1{\sqrt6}+0\cdot\tfrac2{\sqrt6}+9\cdot\bigl(-\tfrac1{\sqrt6}\bigr) =-\tfrac{9}{\sqrt6}.

Resposta

-\tfrac{9}{\sqrt6} (equivalente a -\tfrac{3\sqrt6}{2}).

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