Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
f(x)=x^{2} \arctan \left(x^{2}+2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem de
f(x)=x^{2}\,\arctan\bigl(x^{2}+2x\bigr).
Para isso vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar \arctan.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{2}, \quad v(x)=\arctan\bigl(x^{2}+2x\bigr).
Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Como u'(x)=2x, resta calcular v'(x).

Passo 3

Para derivar v(x)=\arctan\bigl(g(x)\bigr) com g(x)=x^{2}+2x, usamos a regra da cadeia:
g'(x)=2x+2=2(x+1)
e
v'(x) = \frac{g'(x)}{1+\bigl(g(x)\bigr)^{2}} = \frac{2(x+1)}{1+(x^{2}+2x)^{2}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=2x\,v(x)+x^{2}\,v'(x), obtemos
f'(x) = 2x\,\arctan\bigl(x^{2}+2x\bigr) + x^{2}\,\frac{2(x+1)}{1+(x^{2}+2x)^{2}}.
Uma forma levemente mais compacta é
f'(x) = 2x\Bigl[\arctan\bigl(x^{2}+2x\bigr) +\frac{x(x+1)}{1+(x^{2}+2x)^{2}}\Bigr].

Resposta

f'(x) = 2x\,\arctan\bigl(x^{2}+2x\bigr) + \frac{2x^{2}(x+1)}{1+(x^{2}+2x)^{2}}
ou, equivalentemente,
f'(x) = 2x\Bigl[\arctan\bigl(x^{2}+2x\bigr) +\frac{x(x+1)}{1+(x^{2}+2x)^{2}}\Bigr].

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