1. (2,0)\) Considere a função definida por: \[f(x)= \begin{cases}2 x & \text { se } x<2 \\\ x^{2} & \text { se } x \geq 2\end{cases}
a) Calcule usando a definição as derivadas laterais f_{+}^{\prime}(2)\] e \(f_{-}^{\prime}(2).
b) f é derivável em x=2 ? Justifique.
c) f é derivável em x=4 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} 2x, & x<2,\\\ x^{2}, & x\ge2, \end{cases}
e pede: (a) as derivadas laterais em x=2, (b) se f é derivável em 2 e (c) se f é derivável em 4. Para isso vamos usar a definição
f'_{-}(a)=\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \quad f'_{+}(a)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
e lembrar que, em pontos onde a definição de f não muda de ramo, basta reconhecer que é um polinômio.

Passo 2

Cálculo de f'_{-}(2). Como h<0 implica 2+h<2, usamos f(2+h)=2(2+h) e f(2)=2^{2}=4. Então
f'_{-}(2) =\lim_{h\to0^{-}}\frac{2(2+h)-4}{h} =\lim_{h\to0^{-}}\frac{4+2h-4}{h} =\lim_{h\to0^{-}}2 =2.

Passo 3

Cálculo de f'_{+}(2). Para h>0 temos 2+h\ge2, logo f(2+h)=(2+h)^{2} e f(2)=4. Assim
f'_{+}(2) =\lim_{h\to0^{+}}\frac{(2+h)^{2}-4}{h} =\lim_{h\to0^{+}}\frac{4+4h+h^{2}-4}{h} =\lim_{h\to0^{+}}(4+h) =4.

Passo 4

Como f'_{-}(2)=2\neq4=f'_{+}(2), as duas derivadas laterais não coincidem e, por definição, f não é derivável em x=2.

Passo 5

Para x=4 estamos no ramo f(x)=x^{2}, que é um polinômio e, portanto, é derivável em todo ponto. Logo f é derivável em 4 e
f'(4)=\bigl(x^{2}\bigr)'_{x=4} =2\cdot4 =8.

Resposta

a) f'_{-}(2)=2 e f'_{+}(2)=4.
b) Não, f não é derivável em x=2 pois as derivadas laterais diferem.
c) Sim, f é derivável em x=4 e f'(4)=8.

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