Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\ln \left(x^{4}+3 x\right)+\operatorname{sec} (3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
f(x)=\ln\bigl(x^{4}+3x\bigr)+\operatorname{sec}(3x).
O conteúdo envolve duas regras principais: a derivada de \ln(u), que é u'/u, e a derivada de \operatorname{sec}(u), que é \operatorname{sec}(u)\tan(u)\,u'. Também vamos usar a regra da cadeia em cada termo interno.

Passo 2

Derivando o primeiro termo \ln\bigl(x^{4}+3x\bigr):
defina u(x)=x^{4}+3x. Então
u'(x)=4x^{3}+3
e pela regra da derivada do logaritmo temos
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{4}+3x\bigr) =\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{4x^{3}+3}{x^{4}+3x}.

Passo 3

Derivando o segundo termo \operatorname{sec}(3x):
defina v(u)=\operatorname{sec}(u) com u(x)=3x. Sabemos que
\frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u), \quad u'(x)=3.
Assim, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(3x) =\operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\cdot3 =3\,\operatorname{sec}(3x)\tan(3x).

Resposta

f'(x) =\frac{4x^{3}+3}{x^{4}+3x} +3\,\operatorname{sec}(3x)\tan(3x).

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