Exercício 7. Escreva integrais que calculem a área da superfície obtida ao rotacionar a curva dada pelo eixo x e pelo eixo y.
y=raizx, 0 <= x <= 2;

Passo 1

O enunciado pede as áreas de superfície geradas pela revolução da curva
y = raizx, 0 <= x <= 2
em torno dos eixos x e y.
O conteúdo envolvido é o cálculo de área de superfície de revolução, para o qual usamos as fórmulas
Sx = 2pi integrala^b y,raiz1+l(y'r)^2,dx
quando gira em torno do eixo x, e
Sy = 2pi integrala^b x,raiz1+l(y'r)^2,dx
quando gira em torno do eixo y.

Passo 2

Vamos primeiro calcular y'=dydx. Como y=raizx=x^1/2,
y' = 12,x^-1/2 = 12raizx
Então
1+(y')^2 = 1 + 14x = 4x+14x,
e
raiz1+(y')^2 = raiz4x+12raizx
Substituindo em
Sx = 2pi integral0^2 y,raiz1+(y')^2,dx
temos
Sx = 2pi integral0^2 raizx,raiz4x+12raizx,dx = pi integral0^2 raiz4x+1,dx

Passo 3

Para a rotação em torno do eixo y usamos
Sy = 2pi integral0^2 x,raiz1+(y')^2,dx = 2pi integral0^2 x,raiz4x+12raizx,dx = pi integral0^2 raizx,raiz4x+1,dx

Resposta

Sx = pi integral0^2 raiz4x+1,dx
Sy = pi integral0^2 raizx,raiz4x+1,dx

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