Calcule f^prime(x) onde f(x) é igual a 5 x-xx-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=5x - xx-1
Esse problema envolve derivar uma soma (ou diferença) de duas funções: uma parte linear 5x e uma parte na forma de quociente dfracxx-1. Para resolver, usaremos a regra básica de derivada de função linear e a regra do quociente.

Passo 2

Começamos derivando a parte linear. Se h(x)=5x, então pela regra de potência ou pela regra de derivada de ax temos
h'(x)=5

Passo 3

Agora derivamos
g(x)=xx-1
Aplicando a regra do quociente, com u(x)=x e v(x)=x-1, temos
g'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =1cdot(x-1)-xcdot1(x-1)^2 =x-1 - x(x-1)^2 =-1(x-1)^2

Passo 4

Como f(x)=5x - g(x), a derivada é
f'(x)=5 - g'(x) =5 - gl(-1(x-1)^2gr) =5 + 1(x-1)^2

Resposta

f'(x)=5 + 1(x-1)^2

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