Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{2}-1}{2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{2x-3}.
Para isso vamos usar a regra do quociente, que diz que, para u(x) e v(x),
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}.
Aqui definimos u(x)=x^{2}-1 e v(x)=2x-3.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=2x,\quad v'(x)=2.
Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}} =\frac{2x\,(2x-3)-(x^{2}-1)\,2}{(2x-3)^{2}}.
Agora expandimos e simplificamos o numerador:
2x\,(2x-3)=4x^{2}-6x,\quad 2\,(x^{2}-1)=2x^{2}-2,
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4x^{2}-6x-(2x^{2}-2)=2x^{2}-6x+2=2\bigl(x^{2}-3x+1\bigr).
Portanto
f'(x) =\frac{2\bigl(x^{2}-3x+1\bigr)}{(2x-3)^{2}}.

Passo 3

Agora vamos achar f''(x). Definimos
u_{1}(x)=2\bigl(x^{2}-3x+1\bigr), \quad v_{1}(x)=(2x-3)^{2}.
Calculamos
u_{1}'(x)=2\,(2x-3)=4x-6, \quad v_{1}'(x)=2\,(2x-3)\cdot2=4\,(2x-3).
Aplicando a regra do quociente de novo:
f''(x) =\frac{u_{1}'(x)\,v_{1}(x)-u_{1}(x)\,v_{1}'(x)}{v_{1}(x)^{2}} =\frac{(4x-6)(2x-3)^{2}-2(x^{2}-3x+1)\,4(2x-3)}{(2x-3)^{4}}.
No numerador, colocamos (2x-3) em evidência:
(4x-6)(2x-3)-8(x^{2}-3x+1) =8x^{2}-18x+18-\bigl(8x^{2}-24x+8\bigr) =6x+10.
Então o numerador completo é (2x-3)(6x+10) e ficamos com
f''(x) =\frac{(2x-3)(6x+10)}{(2x-3)^{4}} =\frac{6x+10}{(2x-3)^{3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2\bigl(x^{2}-3x+1\bigr)}{(2x-3)^{2}}, \qquad f''(x)=\frac{6x+10}{(2x-3)^{3}}.

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