Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
y=a x^{3} \sqrt{x b^{2}+c}

Passo 1

O enunciado dá
y = a\,x^3\sqrt{x b^2 + c}
e pede y' e y''. Vamos usar a regra do produto para diferenciar x^3 e \sqrt{x b^2+c}, e a regra da cadeia para \sqrt{u}=u^{1/2}.

Passo 2

Aplicando a regra do produto:
y' = a\Bigl((x^3)'\,\sqrt{x b^2+c} \;+\; x^3\,\bigl(\sqrt{x b^2+c}\bigr)'\Bigr).
Sabemos que (x^3)'=3x^2 e
\bigl(\sqrt{x b^2+c}\bigr)' = \frac12\,(x b^2+c)^{-1/2}\cdot b^2.

Passo 3

Substituindo e simplificando:
y' = a\Bigl(3x^2(x b^2+c)^{1/2} + \frac{b^2x^3}{2(x b^2+c)^{1/2}}\Bigr) = \frac{a\,x^2}{2\sqrt{x b^2+c}}\bigl(6(x b^2+c)+x b^2\bigr),
\boxed{y' = \frac{a\,x^2(7x b^2 + 6c)}{2\sqrt{x b^2 + c}}.}

Passo 4

Para y'' é prático reescrever
y' = \frac{a}{2}\,x^2(7x b^2+6c)\,(x b^2+c)^{-1/2}
e aplicar a regra do produto em \displaystyle u = x^2(7x b^2+6c) e \displaystyle v = (x b^2+c)^{-1/2}.
Calculamos
u' = 21b^2x^2 + 12c\,x, \qquad v' = -\tfrac12\,b^2\,(x b^2+c)^{-3/2}.

Passo 5

Usando y''=\tfrac{a}{2}(u'v + u\,v') e reunindo termos sob o mesmo denominador, chega-se a
\boxed{y'' = \frac{a\,x\,(35b^4x^2 + 60b^2c\,x + 24c^2)}{4\,(x b^2+c)^{3/2}}.}

Resposta

y' = \frac{a\,x^2(7x b^2 + 6c)}{2\sqrt{x b^2 + c}}, \qquad y'' = \frac{a\,x\,(35b^4x^2 + 60b^2c\,x + 24c^2)}{4\,(x b^2+c)^{3/2}}.

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