Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
g(t)=\frac{t-\sqrt{t}}{t^{1 / 3}}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(t)=\frac{t-\sqrt{t}}{t^{1/3}}
e pede as derivadas primeira e segunda. Vamos usar manipulação algébrica de potências e a regra da potência para derivação.

Passo 2

Simplificamos g(t) escrevendo todas as potências:
g(t) = \frac{t^{1}-t^{1/2}}{t^{1/3}} = t^{1-1/3} - t^{1/2-1/3} = t^{2/3} - t^{1/6}

Passo 3

Derivamos usando a regra da potência, que diz \frac{d}{dt}(t^{a})=a\,t^{a-1}:
g'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t^{2/3}\bigr) \;-\;\frac{d}{dt}\bigl(t^{1/6}\bigr) = \frac{2}{3}\,t^{2/3-1} \;-\;\frac{1}{6}\,t^{1/6-1} = \frac{2}{3}\,t^{-1/3} - \frac{1}{6}\,t^{-5/6}

Passo 4

Para a segunda derivada, aplicamos novamente a regra da potência em cada termo de g'(t):
g''(t) = \frac{2}{3}\Bigl(-\frac{1}{3}\Bigr)\,t^{-1/3-1} \;-\;\frac{1}{6}\Bigl(-\frac{5}{6}\Bigr)\,t^{-5/6-1} = -\frac{2}{9}\,t^{-4/3} + \frac{5}{36}\,t^{-11/6}

Resposta

g'(t)=\frac{2}{3}\,t^{-1/3}-\frac{1}{6}\,t^{-5/6},
g''(t)=-\frac{2}{9}\,t^{-4/3}+\frac{5}{36}\,t^{-11/6}.

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