Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
f(x)=\left(x^{4}+3 x^{2}-2\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de f(x) = \bigl(x^4 + 3x^2 - 2\bigr)^5. Aqui vamos usar a regra da cadeia para a derivada de uma função composta e, na segunda derivada, também a regra do produto.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x^4 + 3x^2 - 2
e a externa
f(u) = u^5.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(u(x)^5\bigr) = 5\,u(x)^4 \cdot u'(x).
Como
u'(x) = 4x^3 + 6x,
segue que
f'(x) = 5\bigl(x^4 + 3x^2 - 2\bigr)^4\,(4x^3 + 6x).

Passo 3

Para a segunda derivada aplicamos a regra do produto a
f'(x) = 5\,A(x)\,B(x),
onde A(x) = \bigl(x^4 + 3x^2 - 2\bigr)^4 e B(x) = 4x^3 + 6x. Então
f''(x) = 5\bigl(A'(x)B(x) + A(x)B'(x)\bigr).
Calculamos
A'(x) = 4\bigl(x^4 + 3x^2 - 2\bigr)^3\,(4x^3 + 6x), \qquad B'(x) = 12x^2 + 6.
Substituindo, obtemos
f''(x) =5\Bigl[4\bigl(x^4 + 3x^2 - 2\bigr)^3\,(4x^3 + 6x)\,(4x^3 + 6x) +\bigl(x^4 + 3x^2 - 2\bigr)^4\,(12x^2 + 6)\Bigr].

Resposta

f'(x) = 5\bigl(x^4 + 3x^2 - 2\bigr)^4\,(4x^3 + 6x),
f''(x) =20\bigl(x^4 + 3x^2 - 2\bigr)^3\,(4x^3 + 6x)^2 +5\bigl(x^4 + 3x^2 - 2\bigr)^4\,(12x^2 + 6).

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