Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
y=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
y = \mathrm{e}^{\sqrt{x}}.
O conteúdo aqui é derivação de função composta usando a regra da cadeia e, depois, a regra do produto para obter a segunda derivada.

Passo 2

Para achar y', identificamos a função interna
u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2},
cuja derivada é
u'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Como y = \mathrm{e}^{u(x)}, a regra da cadeia dá
y' = \frac{d}{dx}\bigl(\mathrm{e}^{u(x)}\bigr) = \mathrm{e}^{u(x)}\cdot u'(x).

Passo 3

Substituindo u(x) e u'(x) em y', temos
y' = \mathrm{e}^{\sqrt{x}}\;\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Para obter y'', rewrite y' como produto
y' = \frac{1}{2}x^{-1/2}\,\mathrm{e}^{\sqrt{x}} = A(x)\,B(x),
onde
A(x) = \tfrac12\,x^{-1/2},\quad B(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}.
Então, pela regra do produto,
y'' = A'(x)\,B(x) + A(x)\,B'(x).
Calculamos
A'(x) = \tfrac12\cdot(-\tfrac12)x^{-3/2} = -\frac{1}{4}x^{-3/2},
e de antes sabemos
B'(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Logo,
y'' = -\frac{1}{4}x^{-3/2}\,\mathrm{e}^{\sqrt{x}} + \frac12\,x^{-1/2}\,\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Agora simplificamos y''. Na segunda parcela
\frac12\,x^{-1/2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{4}x^{-1},
então
y'' = \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \Bigl(-\tfrac{1}{4}x^{-3/2} + \tfrac{1}{4}x^{-1}\Bigr) = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{4}\Bigl(x^{-1} - x^{-3/2}\Bigr).
Fatorando x^{-3/2},
y'' = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{4}\,x^{-3/2}\bigl(x^{1/2}-1\bigr) = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\bigl(\sqrt{x}-1\bigr)}{4\,x^{3/2}}.

Resposta

y' = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}, \qquad y'' = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\bigl(\sqrt{x}-1\bigr)}{4\,x^{3/2}}.

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