Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
f(x)=\left(x^{3}+2 x\right) \mathrm{e}^{x}

Passo 1

O enunciado diz que
f(x) = \bigl(x^3 + 2x\bigr)e^x,
e pede a primeira e a segunda derivadas.
O que vamos usar:
– regra do produto: se f(x)=u(x)v(x) então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),
– derivada de exponencial:
\frac{d}{dx}e^x = e^x.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^3 + 2x, \quad u'(x) = 3x^2 + 2, \quad v(x)=e^x, \quad v'(x)=e^x.
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (3x^2+2)e^x + (x^3+2x)e^x = \bigl(x^3 + 3x^2 + 2x + 2\bigr)e^x.

Passo 3

Para achar f''(x), aplicamos a regra do produto em
f'(x) = P(x)e^x, \quad \text{onde } P(x)=x^3+3x^2+2x+2.
Calculamos
P'(x)=3x^2+6x+2, \quad (e^x)'=e^x.
Logo,
f''(x) = P'(x)e^x + P(x)e^x = \bigl(x^3 + 6x^2 + 8x + 4\bigr)e^x.

Passo 4

Reunindo os resultados, temos as fórmulas finais para as derivadas.

Resposta

f'(x) = \bigl(x^3 + 3x^2 + 2x + 2\bigr)e^x f''(x) = \bigl(x^3 + 6x^2 + 8x + 4\bigr)e^x

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