Calcule a Derivada (Produto, Quociente, Regra da Cadeia, …)
f(x)=(1+tan ^4(x12))^3

Passo 1

A função é
f(x)=l(1+tan^4l(tfracx12r)r)^3
que envolve uma composição de funções elevadas a potências, então o conteúdo aqui é derivada de função composta (regra da cadeia) em cascata.

Passo 2

Vamos desmembrar a composição em três níveis:
  1. Função externa: g(u)=u^3
  2. Função do meio: u(v)=1+v
  3. Função interna: v(w)=tan^4(w) com w(x)=tfracx12.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para a composição completa, temos
f'(x)=g'(u(x))cdot u'(v(x))cdot v'(w(x))cdot w'(x)
No nosso caso isso vira
f'(x)=3l(1+tan^4(tfracx12)r)^2cdotddxl[tan^4(tfracx12)r]

Passo 4

Para derivar tan^4(u) vemos isso como (tan(u))^4 e aplicamos regra da cadeia:
ddxl[tan^4(u)r]=4,tan^3(u)cdotddx[tan(u)]

Passo 5

Sabendo que ddx[tan(u)]=sec^2(u)cdot u' e aqui u(x)=tfracx12 u'(x)=tfrac112, temos
ddxl[tan^4(tfracx12)r]=4,tan^3(tfracx12)cdotsec^2(tfracx12)cdottfrac112

Passo 6

Agora juntamos tudo:
f'(x)=3l(1+tan^4(tfracx12)r)^2cdotl(4,tan^3(tfracx12)cdotsec^2(tfracx12)cdottfrac112r)
E simplificando o coeficiente 3times4timestfrac112=1, chegamos à forma final.

Resposta

f'(x)=l(1+tan^4(tfracx12)r)^2cdottan^3l(tfracx12r)cdotsec^2l(tfracx12r)

Exercícios relacionados