y^prime prime prime-2 y^prime prime-y^prime+2 y=e^4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear não-homogênea de terceira ordem
y^primeprimeprime-2y^primeprime-y^prime+2y = e^4x
O conteúdo aqui é solução de equação diferencial linear com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo e^4x.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y^primeprimeprime-2y^primeprime-y^prime+2y = 0,
e montamos a equação característica
r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0
Fatorando por agrupamento, temos
r^2(r-2) -1(r-2) = (r-2)(r^2-1) = (r-2)(r-1)(r+1)=0,
logo as raízes são r=2, r=1 e r=-1. Assim, a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^x + C3 e^-x

Passo 3

Buscamos uma solução particular da forma
yp(x) = A e^4x,
pois o termo forçante é e^4x e 4 não é raiz da característica. Calculamos as derivadas:
yp' = 4A e^4x, yp'' = 16A e^4x, yp''' = 64A e^4x
Substituindo na EDO, obtemos
64A e^4x - 2cdot16A e^4x - 4A e^4x + 2A e^4x = (64 - 32 - 4 + 2),A e^4x = 30A e^4x,
que deve ser igual a e^4x. Logo
30A e^4x = e^4x Longrightarrow A = 130
Portanto
yp(x) = 130e^4x

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 e^x + C3 e^-x + 130e^4x

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^x + C3 e^-x + 130e^4x

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