y^prime prime prime-3 y^prime prime+2 y^prime=e^2 x1+e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes\r
y''' - 3y'' + 2y' = e^2x1 + e^x \r
O conteúdo é resolução de EDOs lineares usando primeiro a solução geral da homogênea e depois o método de variação de parâmetros para encontrar uma particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea\r
y''' - 3y'' + 2y' = 0 \r
Formamos a equação característica \r
r^3 - 3r^2 + 2r = r,(r-1),(r-2)=0, \r
cujas raízes são r=0, r=1 e r=2. Logo as três soluções independentes são\r
y1=1, y2=e^x, y3=e^2x, \r
e a solução geral homogênea é\r
yh = C1 + C2,e^x + C3,e^2x

Passo 3

Para resolver a não-homogênea usamos variação de parâmetros. Escrevemos\r
yp = u1(x),y1 + u2(x),y2 + u3(x),y3 \r
e impomos as condições\r
u1'y1 + u2'y2 + u3'y3 = 0, u1'y1' + u2'y2' + u3'y3' = 0, u1'y1'' + u2'y2'' + u3'y3'' = e^2x1+e^x

Passo 4

Substituindo \r
o sistema vira\r
\r
Da segunda equação tiramos
(;u_2’ e^x +2u_3’e^{2x}=0\implies u_2’=-2e^x,u_3’.]\r
Substituindo na terceira,\r
\r
Então\r

Passo 5

Integramos cada uma:\r
u3(x)=tfrac12integral dx1+e^x = tfrac12l[x - ln(1+e^x)r],
u2(x)=-integral e^x1+e^x,dx = -ln(1+e^x),
u1(x)=tfrac12integral e^2x1+e^x,dx =tfrac12l[e^x - ln(1+e^x)r],
pois usamos a divisão e^2x/(1+e^x)=e^x-1+1/(1+e^x).

Passo 6

Agora montamos \r
yp = u1 + u2,e^x + u3,e^2x \r
Substituindo ui:\r
yp = tfrac12l[e^x - ln(1+e^x)r] ;-;ln(1+e^x),e^x ;+;tfrac12l[x - ln(1+e^x)r]e^2x \r
Este é um particular qualquer que satisfaz a EDO não-homogênea.

Resposta

A solução geral da EDO é\r
boxed y(x) = C1 + C2,e^x + C3,e^2x ;+;tfrac12l[e^x - ln(1+e^x)r] ;-;ln(1+e^x),e^x ;+;tfrac12l[x - ln(1+e^x)r]e^2x

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