Calcule a Derivada (Produto, Quociente, Regra da Cadeia, …)
f(x)=cos ^2(x-sen^2(cos x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cos^2l(x-sin^2(cos x)r)
O conteúdo principal envolve a regra da potência (derivada de t^2) e várias aplicações da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos
u(x)=x-sin^2(cos x),
de modo que
f(x)=l(cos(u(x))r)^2
Para derivar usaremos que, se h(t)=t^2, então h'(t)=2t, e em seguida a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em f(x)=l[cos(u(x))r]^2, temos
f'(x) =2cos(u(x));cdot;ddxl[cos(u(x))r]
Como
ddxl[cos(u(x))r] =-sin(u(x));u'(x),
segue
f'(x)=-2cos(u(x)),sin(u(x));u'(x)

Passo 4

Agora calculo u'(x). Como
u(x)=x-sin^2(cos x),
então
u'(x)=1-ddxl[sin^2(cos x)r]
Seja v(x)=sin(cos x). Então sin^2(cos x)=v(x)^2 e
ddx[v(x)^2] =2v(x),v'(x)
Além disso
v'(x) =cos(cos x),ddx(cos x) =cos(cos x),(-sin x) =-sin xcos(cos x)
Logo
ddxl[sin^2(cos x)r] =2sin(cos x),(-sin xcos(cos x)) =-2sin x,sin(cos x),cos(cos x)
Assim
u'(x) =1-[-2sin x,sin(cos x),cos(cos x)] =1+2sin x,sin(cos x),cos(cos x)

Passo 5

Substituindo u(x)=x-sin^2(cos x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =-2cosl(x-sin^2(cos x)r), sinl(x-sin^2(cos x)r), l[,1+2sin x,sin(cos x),cos(cos x)r]
Observando que -2cos u,sin u=-sin(2u), podemos reescrever
f'(x) =-sin!l(2l(x-sin^2(cos x)r)r), l[,1+2sin x,sin(cos x),cos(cos x)r]

Resposta

f'(x) =-2cosl(x-sin^2(cos x)r), sinl(x-sin^2(cos x)r), l[,1+2sin x,sin(cos x),cos(cos x)r]
ou equivalentemente
f'(x) =-sin!l(2l(x-sin^2(cos x)r)r), l[,1+2sin x,sin(cos x),cos(cos x)r]

Exercícios relacionados