Investigue a convergência das seguintes séries valendo-se dos critérios necessários.
1raiz1 cdot 2+1raiz2 cdot 3+1raiz3 cdot 4+cdots+1raizn(n+1)+cdots

Passo 1

O enunciado nos pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty 1raizn(n+1).
Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos usar o teste de comparação-limite (equivalência assintótica) e, para reforço, o teste de comparação simples.

Passo 2

Analisamos o comportamento assintótico do termo geral
an = 1raizn(n+1)
Vamos comparar com a série harmônica sum 1/n. Calculamos
limntoinftyan1/n = limntoinftynraizn(n+1) = limntoinfty1raiz1 + 1/n = 1

Passo 3

Pelo teste de comparação-limite, se
limntoinftyan1/n=L com 0<L<infty
então sum an e sum 1/n têm o mesmo comportamento de convergência. Como sum 1/n diverge, concluímos que
sumn=1^infty 1raizn(n+1) diverge.

Passo 4

Para reforçar, note que para todo n>=1 vale
raizn(n+1)<= n+1 Longrightarrow 1raizn(n+1)>= 1n+1
E como sum 1/(n+1) diverge (é a harmônica deslocada), a comparação direta também mostra que a série em estudo diverge.

Resposta

A série diverge.

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