Calcule a Derivada (Produto, Quociente, Regra da Cadeia, …)
f(x)=raiz[4]x^3 sen^9 x

Passo 1

Primeiro, reescrevemos a função f(x)=raiz[4]x^3,sen^9x como um produto de potências: f(x)=x^tfrac34cdot(senx)^9. O conteúdo envolve regra do produto, regra da potência e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares para aplicar a regra do produto de forma clara:
u(x)=x^{\tfrac34}
v(x)=(\operatorname{sen}x)^9

Passo 3

Calculamos a derivada de u usando a regra da potência, que diz
ddxx^a=a,x^a-1
Logo,
u'(x)=ddxx^tfrac34=tfrac34x^-tfrac14

Passo 4

Calculamos a derivada de v usando a regra da cadeia. Se g(x)=senx e v(x)=g(x)^9, então
v'(x)=9,g(x)^8cdot g'(x)=9,(senx)^8cdotcos x

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u,u',v,v', obtemos
f'(x)=tfrac34x^-tfrac14(senx)^9+ x^tfrac34cdot9,(senx)^8cos x

Passo 6

Por fim, podemos fatorar x^-tfrac14(senx)^8 para simplificar:
f'(x)=x^-tfrac14(senx)^8l(tfrac34,senx+9,xcos xr)

Resposta

f'(x)=34x^-tfrac14(senx)^9+9x^tfrac34(senx)^8cos x

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