Calcule a Derivada (Produto, Quociente, Regra da Cadeia, …)
f(x)=(2 x+14 x^2-2)^7

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(2x+14x^2-2r)^7
O conteúdo necessário envolve a regra da cadeia (para a potência) e a regra do quociente (para a função dentro da potência).

Passo 2

Definimos
u(x) = 2x+14x^2-2,
de modo que f(x) = [u(x)]^7. Pela regra da cadeia,
f'(x) = 7,[u(x)]^6,u'(x)

Passo 3

Para calcular u'(x), usamos a regra do quociente com
N(x)=2x+1, D(x)=4x^2-2
Então
u'(x) = N'(x),D(x) - N(x),D'(x)[D(x)]^2
Como N'(x)=2 e D'(x)=8x, segue
u'(x) = 2,(4x^2-2) - (2x+1),8x(4x^2-2)^2 = 8x^2 -4 -16x^2 -8x(4x^2-2)^2 = -8x^2 -8x -4(4x^2-2)^2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) = 7(2x+14x^2-2)^6 cdot -8x^2 -8x -4(4x^2-2)^2

Passo 5

Agrupando fatores e simplificando o denominador:
f'(x) = -7,(8x^2 +8x +4),(2x+1)^6(4x^2-2)^8

Resposta

f'(x) = -7,(8x^2 +8x +4),(2x+1)^6(4x^2-2)^8

Exercícios relacionados