Calcule a derivada em relação a x da seguinte curva:
x^2 sen(y)+y^2 sen(x)=1

Passo 1

Temos a curva implícita
x^2sin(y)+y^2sin(x)=1
Queremos encontrar dfracdydx. Para isso vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do produto sempre que tivermos algo como u(x),v(x) e regra da cadeia quando derivarmos sin(cdot).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, o lado direito vira 0. No lado esquerdo temos duas parcelas:
x^2sin(y) e y^2sin(x)
Pela regra do produto,
ddxl[x^2sin(y)r] =2xsin(y)+x^2cos(y),dydx,
e
ddxl[y^2sin(x)r] =ddx[y^2]cdotsin(x)+y^2cos(x) =2y,dydx,sin(x)+y^2cos(x)

Passo 3

Somando as duas derivadas e igualando a zero, obtemos
2xsin(y)+x^2cos(y),dydx +2ysin(x),dydx+y^2cos(x)=0
Agora agrupamos os termos que contêm dydx e os que não contêm:
– termos sem dfracdydx: 2xsin(y)+y^2cos(x)
– termos com dfracdydx: l(x^2cos(y)+2ysin(x)r)dfracdydx

Passo 4

Isolando dfracdydx:
l(x^2cos(y)+2ysin(x)r)dydx =-l(2xsin(y)+y^2cos(x)r)
e portanto
dydx =-l(2xsin(y)+y^2cos(x)r)x^2cos(y)+2ysin(x)

Resposta

dydx =-2xsin(y)-y^2cos(x)x^2cos(y)+2ysin(x)

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