Calcule as derivadas das funções a seguir:
raiztg(x^2) cos (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=raiztanl(x^2r),cosl(2x+1r)
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia, a regra do produto e as derivadas conhecidas de tan u e cos v.

Passo 2

Definimos a “parte interna”
g(x)=tanl(x^2r),cosl(2x+1r)
e a função externa
h(u)=raizu=u^1/2
Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'l(g(x)r),g'(x) com h'(u)=tfrac12,u^-1/2
Logo,
f'(x) =12raizg(x);g'(x)

Passo 3

Agora calculamos g'(x) usando a regra do produto em
tan(x^2) e cos(2x+1):
g'(x) =l[tanl(x^2r)r]',cosl(2x+1r) +tanl(x^2r),l[cosl(2x+1r)r]'
Sabemos que
ddxtanl(x^2r) =sec^2l(x^2r)cdot2x, ddxcosl(2x+1r) =-sinl(2x+1r)cdot2
Portanto
g'(x) =2x,sec^2l(x^2r),cosl(2x+1r) -2,tanl(x^2r),sinl(2x+1r)

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) em
f'(x) =12raizg(x),g'(x),
obtemos
f'(x) =2x,sec^2l(x^2r)cosl(2x+1r) -2,tanl(x^2r)sinl(2x+1r) 2raiztanl(x^2r)cosl(2x+1r)
Cancelando o fator 2, fica
f'(x) =x,sec^2l(x^2r)cosl(2x+1r) -tanl(x^2r)sinl(2x+1r) raiztanl(x^2r)cosl(2x+1r)

Resposta

f'(x) =x,sec^2l(x^2r)cosl(2x+1r) -tanl(x^2r)sinl(2x+1r) raiztanl(x^2r)cosl(2x+1r)

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