Responda verdadeiro (V) ou falso (F):
( ) Sejam f e g duas funções cujo domínio é o conjunto dos números reais. Se f^prime(x)=g^prime(x), forall x in R, então f(x)=g(x) para todo forall x in R.
( ) Seja f(x)=x^2+5. Temos que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) em x=1 é 5 .
( ) A função g(x)=x^2+3 x+5 tem ponto de máximo em x=-32.
( ) A função f(x)=|x|, com domínio em (0, infty) não é derivável.
( ) A função f(x)=x^3-16 x tem em x=0 o seu único ponto crítico.
( ) Seja f(x)=1x, então lim x 0 f(x)=0.
( ) Sejam f, g: R R tais que f e g são deriváveis então f g(x) e (fg)(x) são deriváveis para todo x real.

Passo 1

O enunciado apresenta sete afirmações sobre derivadas, inclinação de reta tangente, extremos de funções, diferenciabilidade, pontos críticos, limites e regras de derivação de produto e quociente. O conteúdo é Cálculo Diferencial, e vamos avaliar cada afirmação marcando-a como verdadeira ou falsa.

Passo 2

Afirmação 1: “Se f'(x)=g'(x) para todo xinR, então f(x)=g(x) para todo x.”
Teoria: se f'(x)=g'(x) então (f-g)'(x)=0, logo f-g é constante e f(x)=g(x)+C, não necessariamente iguais.
Conclusão: F

Passo 3

Afirmação 2: “Para f(x)=x^2+5, a inclinação da reta tangente em x=1 é 5.”
Cálculo: f'(x)=2x então f'(1)=2.
Conclusão: F

Passo 4

Afirmação 3: “A função g(x)=x^2+3x+5 tem ponto de máximo em x=-tfrac32.”
Como o coeficiente de x^2 é positivo, o vértice é mínimo, não máximo.
Conclusão: F

Passo 5

Afirmação 4: “A função f(x)=|x|, com domínio em (0,infty), não é derivável.”
Em (0,infty) temos f(x)=x, que é derivável, pois o ponto 0 não pertence ao domínio.
Conclusão: F

Passo 6

Afirmação 5: “A função f(x)=x^3-16x tem em x=0 o seu único ponto crítico.”
Calculamos f'(x)=3x^2-16. A condição f'(x)=0 x=pm4/raiz3, não x=0.
Conclusão: F

Passo 7

Afirmação 6: “Para f(x)=tfrac1x, tem-se limxto0f(x)=0.”
Na verdade limxto0^+1/x=+infty e limxto0^-1/x=-infty, logo não existe limite finito.
Conclusão: F

Passo 8

Afirmação 7: “Se f e g são deriváveis em R, então fcdot g e tfracfg são deriváveis para todo xinR.”
O produto sempre é derivável, mas o quociente só onde g(x)neq0. Não vale “para todo” x.
Conclusão: F

Resposta

(F)
(F)
(F)
(F)
(F)
(F)
(F)

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