Calcule a derivada da seguinte função:
f(theta)=a^cotg theta, a>0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função do tipo exponencial com base constante e expoente variável: f(theta)=a^cotgtheta com a>0. Vamos usar (1) a conversão para exponencial natural, (2) a regra da cadeia e (3) a derivada de cotgtheta.

Passo 2

Reescrevemos f(theta) em termos de e:
f(theta)=a^cotgtheta= e^cotgtheta,ln(a)

Passo 3

Aplicamos a derivada de e^u(theta) usando regra da cadeia. Se u(theta)=cotgtheta,ln(a), então
f'(theta)= e^u(theta),u'(theta)
E derivamos u(theta):
u'(theta)=ln(a),ddtheta(cotgtheta)=ln(a),(-csc^2theta)

Passo 4

Substituímos e^u(theta)=a^cotgtheta e juntamos tudo. Assim,
f'(theta)=a^cotgtheta,l(ln(a)r)(-csc^2theta)
Portanto obtemos o resultado final abaixo.

Resposta

-a^cotgtheta,ln(a),csc^2theta

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