Calcule a derivada da seguinte função:
f(x)=sen^3(3 x^2+6 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=sin^3l(3x^2+6xr). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções compostas, pois temos uma potência aplicada a um seno de um polinômio.

Passo 2

Vamos identificar as camadas de funções: seja v(x)=3x^2+6x, depois u(v)=sin(v) e por fim f(u)=u^3. Assim temos f(x)=fl(u(v(x))r).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada camada:
  • v'(x)=ddx(3x^2+6x)=6x+6.
  • u'(v)=ddvsin(v)=cos(v).
  • f'(u)=ddu(u^3)=3u^2.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em cascata:
f'(x)=f'(u)cdot u'(v)cdot v'(x)

Passo 5

Substituindo u=sin(3x^2+6x) e v=3x^2+6x:
f'(x)=3,sin^2l(3x^2+6xr)cdotcosl(3x^2+6xr)cdot(6x+6)

Passo 6

Para simplificar, observe que 6x+6=6(x+1) e multiplica o 3, resultando em 18:
f'(x)=18,(x+1),sin^2l(3x^2+6xr),cosl(3x^2+6xr)

Resposta

f'(x)=18(x+1),sin^2l(3x^2+6xr),cosl(3x^2+6xr).

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