Calcule a derivada seguinte utilizando a regra da cadeia
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Passo 1
Então, a gente tem que calcular a derivada da função $ y(x) = \left(\frac{x{2}+1}{x{2}-1}\right)^{3} $ usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma ferramenta importante no cálculo que nos ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar saber como aplicar essa regra passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Pense na função como duas partes: uma função externa e uma função interna. Aqui, a função externa é algo elevado ao cubo, e a função interna é a fração $ \frac{x{2}+1}{x{2}-1} $.
Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é a derivada da função externa em relação a $ u $ multiplicada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Então, começamos derivando a função externa:
Em seguida, derivamos a função interna $ u(x) $ em relação a $ x $.
Passo 4
Para derivar $ u(x) = \frac{x{2}+1}{x{2}-1} $, usamos a regra do quociente, que é:
Aqui, $ f(x) = x^{2}+1 $ e $ g(x) = x^{2}-1 $.
Vamos derivar $ f(x) $ e $ g(x) $:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para $ \frac{du}{dx} $:
Passo 6
Agora, voltamos à derivada de $ y $ em relação a $ x $ usando a regra da cadeia:
Passo 7
Por fim, simplificamos a expressão:
Resposta
A derivada de $ y(x) = \left(\frac{x{2}+1}{x{2}-1}\right)^{3} $ é: