Calcule a derivada seguinte utilizando a regra da cadeia y(x)=(x^2+1x^2-1)^3.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função $ y(x) = \left(\frac{x{2}+1}{x{2}-1}\right)^{3} $ usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma ferramenta importante no cálculo que nos ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar saber como aplicar essa regra passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Pense na função como duas partes: uma função externa e uma função interna. Aqui, a função externa é algo elevado ao cubo, e a função interna é a fração $ \frac{x{2}+1}{x{2}-1} $.
Então, vamos definir:
x^2+1x^2-1
u(x) = x^2+1x^2-1

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é a derivada da função externa em relação a $ u $ multiplicada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Então, começamos derivando a função externa:
y
Em seguida, derivamos a função interna $ u(x) $ em relação a $ x $.

Passo 4

Para derivar $ u(x) = \frac{x{2}+1}{x{2}-1} $, usamos a regra do quociente, que é:
u(x) = x^2+1x^2-1
Aqui, $ f(x) = x^{2}+1 $ e $ g(x) = x^{2}-1 $.
Vamos derivar $ f(x) $ e $ g(x) $:
ddx ( f(x)g(x) ) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2
f(x) = x^2+1
Agora, aplicando a regra do quociente:
g(x) = x^2-1

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para $ \frac{du}{dx} $:
dudx
dudx = 2x(x^2-1) - 2x(x^2+1)(x^2-1)^2
= 2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x(x^2-1)^2

Passo 6

Agora, voltamos à derivada de $ y $ em relação a $ x $ usando a regra da cadeia:
y
x
dydx = dydu cdot dudx

Passo 7

Por fim, simplificamos a expressão:
dydx = -12x cdot (x^2+1)^2(x^2-1)^4

Resposta

A derivada de $ y(x) = \left(\frac{x{2}+1}{x{2}-1}\right)^{3} $ é:
y(x) = (x^2+1x^2-1)^3

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