Calcule a derivada das seguintes funções
(sen x)^cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(sen xr)^cos x
O conteúdo é derivação de função com base e expoente variáveis, e vamos usar diferenciação logarítmica para simplificar.

Passo 2

Definimos
g(x) = cos x ,lnl(sen xr),
de modo que
f(x) = e^g(x)
Assim, pela regra da cadeia,
f'(x) = e^g(x),g'(x) = l(sen xr)^cos x,g'(x)

Passo 3

Calculamos g'(x) usando a regra do produto em
cos x cdot ln(sen x):
g'(x) = l(cos xr)' ,lnl(sen xr) + cos x ,l[lnl(sen xr)r]'
Aqui
l(cos xr)' = -sin x
e
l[ln(sen x)r]' = dfraccos xsen x
Logo,
g'(x) = -sin x ,lnl(sen xr) + cos x ,cos xsen x = -sin x ,lnl(sen xr) + cos^2 xsen x

Passo 4

Substituindo g'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) = l(sen xr)^cos x l[ -sin x ,lnl(sen xr) + cos^2 xsen x r]

Resposta

f'(x) = l(sen xr)^cos x l( -sin x ,lnl(sen xr) + cos^2 xsen x r)

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