Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
f(x, t)=raizx ln t

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, t) = raizx ln t . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, especificamente com respeito a cada variável individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a x , que é partial fpartial x . Para isso, tratamos t como uma constante.
A função é f(x, t) = raizx ln t . Reescrevendo raizx como x^1/2 , temos:
f(x, t) = x^1/2 ln t
A derivada de x^1/2 em relação a x é 12x^-1/2 . Então:
partial fpartial x = 12x^-1/2 ln t = ln t2raizx

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a t , que é partial fpartial t . Aqui, tratamos x como uma constante.
A função é f(x, t) = raizx ln t . A derivada de ln t em relação a t é 1t . Então:
partial fpartial t = raizx cdot 1t = raizxt

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a x , que é partial^2 fpartial x^2 .
Usando a derivada que encontramos no Passo 2:
partial fpartial x = ln t2raizx = ln t2x^-1/2
Derivando novamente em relação a x :
partial^2 fpartial x^2 = ln t2 cdot (-12)x^-3/2 = -ln t4x^3/2

Passo 5

Agora, a derivada mista: primeiro derivamos em relação a t e depois em relação a x , ou vice-versa, o que dará o mesmo resultado.
Começando pela derivada em relação a t que encontramos no Passo 3:
partial fpartial t = raizxt = raizx cdot t^-1
Derivando isso em relação a x :
partial^2 fpartial x partial t = 12x^-1/2 cdot t^-1 = 12raizx , t

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a segunda derivada em relação a t , que é partial^2 fpartial t^2 .
Usando a derivada de primeira ordem do Passo 3:
partial fpartial t = raizxt = raizx cdot t^-1
Derivando novamente em relação a t :
partial^2 fpartial t^2 = raizx cdot (-1) t^-2 = -raizxt^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, t) = raizx ln t são:
  1. Primeiras derivadas:
partial fpartial x = ln t2raizx, partial fpartial t = raizxt
  1. Segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 = -ln t4x^3/2, partial^2 fpartial x partial t = 12raizx , t, partial^2 fpartial t^2 = -raizxt^2

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