Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, especificamente com respeito a cada variável individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, que é
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função é
. Reescrevendo
como
, temos:
A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, que é
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A função é
. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a
, que é
.
Usando a derivada que encontramos no Passo 2:
Derivando novamente em relação a
:
Passo 5
Agora, a derivada mista: primeiro derivamos em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa, o que dará o mesmo resultado.
Começando pela derivada em relação a
que encontramos no Passo 3:
Derivando isso em relação a
:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a segunda derivada em relação a
, que é
.
Usando a derivada de primeira ordem do Passo 3:
Derivando novamente em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
- Primeiras derivadas:
- Segundas derivadas: