Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
cujo domínio é
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos e, em seguida, a matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Igualando as derivadas a zero, temos
Substituindo
na segunda equação:
Como
, obtemos
e, então,
. Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Calculamos as segundas derivadas para formar a matriz Hessiana:
Em
temos
Passo 5
Como
e
, concluímos que
é um ponto de mínimo local. Não há outros pontos críticos no domínio, logo não existem máximos locais nem pontos de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um mínimo local com valor
. Não há máximos locais nem pontos de sela.