Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
f(x, y)=x y+1x+1y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
f(x,y) = x,y + 1x + 1y,
cujo domínio é (x,y)mid xneq0,;yneq0. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos e, em seguida, a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = y - 1x^2,
partial fpartial y = x - 1y^2

Passo 3

Igualando as derivadas a zero, temos
y - 1x^2 = 0 Longrightarrow y = 1x^2,
x - 1y^2 = 0 Longrightarrow x = 1y^2
Substituindo y = 1/x^2 na segunda equação:
x = 1(1/x^2)^2 = x^4 Longrightarrow x^4 - x = 0 Longrightarrow x(x^3 - 1) = 0
Como xneq0, obtemos x=1 e, então, y = 1/1^2 = 1. Logo, o único ponto crítico é (1,1).

Passo 4

Calculamos as segundas derivadas para formar a matriz Hessiana:
partial^2 fpartial x^2 = 2x^3, partial^2 fpartial xpartial y = 1, partial^2 fpartial y^2 = 2y^3
Em (1,1) temos
fxx(1,1) = 2, fxy(1,1) = 1, fyy(1,1) = 2,
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = 2cdot2 - 1^2 = 3 > 0

Passo 5

Como D > 0 e fxx(1,1) = 2 > 0, concluímos que (1,1) é um ponto de mínimo local. Não há outros pontos críticos no domínio, logo não existem máximos locais nem pontos de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (1,1), que é um mínimo local com valor f(1,1)=3. Não há máximos locais nem pontos de sela.

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