Utilize a regra da cadeia para determinar
nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar a regra da cadeia para encontrar
, onde
,
e
. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções compostas, então a regra da cadeia vai ser bem útil pra gente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
depende de
. Como
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
, precisamos expressar
usando a regra da cadeia. A fórmula geral para a regra da cadeia quando temos
é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Sabemos que:
Então, usando a derivada da função
, que é
, onde
, temos:
E para
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Sabemos que:
E:
Passo 5
Vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
pelas expressões em termos de
:
Então:
Passo 7
Vamos simplificar as expressões:
Primeiro, calcule o denominador comum:
Agora, vamos simplificar os termos:
Simplificando ainda mais:
Resposta
Portanto, a derivada
é: