Utilize a regra da cadeia para determinar d zd t nos seguintes casos:
z=arctg(yx), y=e^t, x=1-e^-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar a regra da cadeia para encontrar dzdt, onde z = arctan(yx), y = e^t e x = 1 - e^-t. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções compostas, então a regra da cadeia vai ser bem útil pra gente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como z depende de t. Como z é uma função de y e x, que por sua vez são funções de t, precisamos expressar dzdt usando a regra da cadeia. A fórmula geral para a regra da cadeia quando temos z = f(x, y) é:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.
Sabemos que:
z = arctan(yx)
Então, usando a derivada da função arctan(u), que é 11 + u^2, onde u = yx, temos:
partial zpartial x = 11 + (yx)^2 cdot (-yx^2) = -yx^2 + y^2
E para partial zpartial y:
partial zpartial y = 11 + (yx)^2 cdot (1x) = xx^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t.
Sabemos que:
y = e^t Rightarrow dydt = e^t
E:
x = 1 - e^-t Rightarrow dxdt = e^-t

Passo 5

Vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
dzdt = (-yx^2 + y^2) cdot dxdt + (xx^2 + y^2) cdot dydt
Substituindo dxdt e dydt:
dzdt = (-yx^2 + y^2) cdot e^-t + (xx^2 + y^2) cdot e^t

Passo 6

Agora, vamos substituir x e y pelas expressões em termos de t:
x = 1 - e^-t e y = e^t
Então:
dzdt = (-e^t(1 - e^-t)^2 + e^2t) cdot e^-t + (1 - e^-t(1 - e^-t)^2 + e^2t) cdot e^t

Passo 7

Vamos simplificar as expressões:
Primeiro, calcule o denominador comum:
(1 - e^-t)^2 + e^2t = 1 - 2e^-t + e^-2t + e^2t
Agora, vamos simplificar os termos:
dzdt = -e^t cdot e^-t + (1 - e^-t) cdot e^t1 - 2e^-t + e^-2t + e^2t = -1 + e^t - e^01 - 2e^-t + e^-2t + e^2t
Simplificando ainda mais:
dzdt = -1 + e^t - 11 - 2e^-t + e^-2t + e^2t = e^t - 21 - 2e^-t + e^-2t + e^2t

Resposta

Portanto, a derivada dzdt é:
dzdt = e^t - 21 - 2e^-t + e^-2t + e^2t

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