Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=raiz[3]x-x2 x^4+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = raiz[3]x - x2x^4 + 1 . Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é usada quando a função é uma divisão de duas outras funções. Vamos precisar também conhecer as Regras de Derivação para potências e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que serão usadas na Regra do Quociente. A regra diz que se temos f(x) = u(x)v(x) , então a derivada f'(x) é:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2
Aqui, temos:
u(x) = raiz[3]x - x e v(x) = 2x^4 + 1

Passo 3

Vamos calcular a derivada de u(x) , ou seja, u'(x) .
Sabemos que raiz[3]x = x^1/3 . A derivada de x^n é n cdot x^n-1 . Então:
ddx ( x^1/3 ) = 13 x^-2/3
E a derivada de -x é simplesmente -1 . Portanto:
u'(x) = 13 x^-2/3 - 1

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de v(x) , ou seja, v'(x) .
v(x) = 2x^4 + 1
A derivada de 2x^4 é 8x^3 e a derivada de 1 é 0 . Então:
v'(x) = 8x^3

Passo 5

Agora que temos u'(x) e v'(x) , vamos aplicar a Regra do Quociente:
f'(x) = ( 13 x^-2/3 - 1 ) cdot (2x^4 + 1) - (raiz[3]x - x) cdot 8x^3 (2x^4 + 1)^2

Passo 6

Vamos simplificar a expressão numerador:
Primeiro, expandir ( 13 x^-2/3 - 1 ) cdot (2x^4 + 1) :
13 x^-2/3 cdot 2x^4 = 23 x^4 - 2/3 = 23 x^10/3
13 x^-2/3 cdot 1 = 13 x^-2/3
-1 cdot 2x^4 = -2x^4
-1 cdot 1 = -1
E para - (raiz[3]x - x) cdot 8x^3 :
- raiz[3]x cdot 8x^3 = -8x^3 + 1/3 = -8x^10/3
- (-x) cdot 8x^3 = 8x^4
Agora, juntando tudo:
23 x^10/3 + 13 x^-2/3 - 2x^4 -1 -8x^10/3 +8x^4
Simplificando termos semelhantes:
( 23 x^10/3 - 8x^10/3 ) + 13 x^-2/3 + (-2x^4 +8x^4) -1 = -223 x^10/3 + 13 x^-2/3 +6x^4 -1

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -223 x^10/3 + 13 x^-2/3 + 6x^4 -1 (2x^4 + 1)^2

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