Calcule as seguintes integrais:
integral0^4|raizx-1| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^4|raizx - 1| , dx. Aqui estamos lidando com integrais e valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona dentro da integral e como dividir a integral em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o valor absoluto |raizx - 1| está fazendo. O valor absoluto transforma qualquer número negativo em positivo. Então, precisamos descobrir para quais valores de x a expressão raizx - 1 é positiva ou negativa.

Passo 3

Vamos achar onde raizx - 1 = 0. Resolvendo:
raizx - 1 = 0 implies raizx = 1 implies x = 1
Então, quando x = 1, a expressão muda de sinal.

Passo 4

Agora sabemos que de x = 0 até x = 1, raizx - 1 é negativa, e de x = 1 até x = 4, ela é positiva. Podemos então dividir a integral em duas partes:
integral0^4|raizx - 1| , dx = integral0^1 (1 - raizx) , dx + integral1^4 (raizx - 1) , dx

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral: integral0^1 (1 - raizx) , dx. Podemos integrar cada termo separadamente.
integral (1) , dx = x
integral raizx , dx = integral x^1/2 , dx = 23x^3/2
Então,
integral0^1 (1 - raizx) , dx = [ x - 23x^3/2 ]0^1 = (1 - 23) - (0 - 0) = 13

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral1^4 (raizx - 1) , dx. Integrando cada termo:
integral raizx , dx = 23x^3/2
integral (-1) , dx = -x
Então,
integral1^4 (raizx - 1) , dx = [ 23x^3/2 - x ]1^4
Calculando nos limites:
( 23(4)^3/2 - 4 ) - ( 23(1)^3/2 - 1 ) = ( 23(8) - 4 ) - ( 23(1) - 1 ) = ( 163 - 4 ) - ( 23 - 1 )
Simplificando:
= ( 163 - 123 ) - ( 23 - 33 ) = 43 - ( -13 ) = 43 + 13 = 53

Resposta

Somando as duas partes, temos:
13 + 53 = 63 = 2
Então, o valor da integral é 2.

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