Calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=ln (1+cos ^2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função g(x) = ln (1 + cos^2 x) . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente usando regras de derivação para funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função composta dentro do logaritmo. Temos ln(u) , onde u = 1 + cos^2 x . Para derivar ln(u) , usamos a derivada da função logarítmica, que é:
ddx ln(u) = 1u cdot dudx

Passo 3

Agora, precisamos calcular dudx , onde u = 1 + cos^2 x . Derivando termo a termo:
dudx = 0 + 2 cos x cdot (-sin x)
Aqui, usamos a derivada da função cos x , que é -sin x , e aplicamos a regra do poder para cos^2 x .

Passo 4

Simplificando dudx :
dudx = -2 cos x sin x

Passo 5

Agora, voltamos à derivada de g(x) :
g'(x) = 1u cdot dudx = -2 cos x sin x1 + cos^2 x

Resposta

A derivada de g(x) = ln (1 + cos^2 x) é:
g'(x) = -2 cos x sin x1 + cos^2 x

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