Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a derivada da função
. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos uma função dentro de outra função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui, temos duas funções:
- A função externa:
, onde . - A função interna:
, que também pode ser escrita como .
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que para derivar uma função composta
, a derivada é
. Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada de
em relação a
é:
Segundo, vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Substituindo
de volta na expressão:
Passo 6
Vamos simplificar um pouco a expressão. Sabemos que
, então:
Podemos escrever isso como:
Resposta
A derivada da função é:
Ou, de forma equivalente: