Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=arctg(raiz[3]x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a derivada da função f(x) = arctan(raiz[3]x) . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui, temos duas funções:
  1. A função externa: arctan(u) , onde u = raiz[3]x .
  2. A função interna: u = raiz[3]x , que também pode ser escrita como u = x^1/3 .

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que para derivar uma função composta f(g(x)) , a derivada é f'(g(x)) cdot g'(x) . Aplicando isso ao nosso caso:
f'(x) = ddx arctan(u) cdot dudx

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada de arctan(u) em relação a u é:
ddu arctan(u) = 11 + u^2
Segundo, vamos derivar u = x^1/3 em relação a x :
dudx = ddx x^1/3 = 13 x^-2/3

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
f'(x) = 11 + u^2 cdot 13 x^-2/3
Substituindo u = x^1/3 de volta na expressão:
f'(x) = 11 + (x^1/3)^2 cdot 13 x^-2/3

Passo 6

Vamos simplificar um pouco a expressão. Sabemos que (x^1/3)^2 = x^2/3 , então:
f'(x) = 11 + x^2/3 cdot 13 x^-2/3
Podemos escrever isso como:
f'(x) = 13 cdot x^-2/31 + x^2/3

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 13 cdot x^-2/31 + x^2/3
Ou, de forma equivalente:
f'(x) = 13x^2/3(1 + x^2/3)

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