Encontre a série de Maclaurin das seguintes funções:
f(x)=sin 2 x;

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (isto é, a expansão em torno de x=0) da função
f(x)=sin(2x)
Para isso, vamos usar o desenvolvimento conhecido de sin(u) em potências de u.

Passo 2

Lembramos que a série de Maclaurin de sin(u) é
sin(u)=sumn=0^infty(-1)^n,u^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Substituímos u=2x nessa expansão. Assim,
sin(2x) =sumn=0^infty(-1)^n,(2x)^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^n,2^2n+1,x^2n+1(2n+1)!

Resposta

sin(2x) =sumn=0^infty(-1)^n,2^2n+1,x^2n+1(2n+1)! =2x-(2x)^33!+(2x)^55!-cdots

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