Calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=e^-x cdot sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função g(x) = e^-x cdot sin x . Isso está relacionado ao estudo de derivadas em cálculo, mais especificamente usando a regra do produto, já que temos duas funções multiplicadas. Para resolver, vamos precisar conhecer como derivar funções exponenciais e trigonométricas e aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. Derivada é uma ferramenta que nos diz como uma função muda quando mudamos a variável de entrada. No nosso caso, queremos saber como g(x) muda quando x muda.

Passo 3

Como temos um produto de duas funções, e^-x e sin x , vamos usar a regra do produto para derivar g(x) . A regra do produto diz que se temos uma função h(x) = f(x) cdot k(x) , então a derivada h'(x) é:
h'(x) = f'(x) cdot k(x) + f(x) cdot k'(x)

Passo 4

Agora, vamos identificar f(x) = e^-x e k(x) = sin x . Precisamos calcular as derivadas dessas duas funções separadamente.

Passo 5

Vamos derivar f(x) = e^-x :
Para derivar uma função exponencial da forma e^u(x) , onde u(x) é uma função de x , usamos a regra da cadeia. A derivada é:
f'(x) = e^u(x) cdot u'(x)
No nosso caso, u(x) = -x , então u'(x) = -1 . Assim:
f'(x) = e^-x cdot (-1) = -e^-x

Passo 6

Agora, vamos derivar k(x) = sin x :
A derivada de sin x em relação a x é cos x . Então:
k'(x) = cos x

Passo 7

Com as derivadas de f(x) e k(x) calculadas, vamos aplicar a regra do produto:
g'(x) = f'(x) cdot k(x) + f(x) cdot k'(x)
Substituindo pelos valores que encontramos:
g'(x) = (-e^-x) cdot sin x + e^-x cdot cos x

Passo 8

Podemos simplificar a expressão fatorando e^-x :
g'(x) = e^-x cdot (-sin x + cos x) = e^-x cdot (cos x - sin x)

Resposta

A derivada da função g(x) = e^-x cdot sin x é:
g'(x) = e^-x cdot (cos x - sin x)

Exercícios relacionados