Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas em cálculo, mais especificamente usando a regra do produto, já que temos duas funções multiplicadas. Para resolver, vamos precisar conhecer como derivar funções exponenciais e trigonométricas e aplicar a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. Derivada é uma ferramenta que nos diz como uma função muda quando mudamos a variável de entrada. No nosso caso, queremos saber como
muda quando
muda.
Passo 3
Como temos um produto de duas funções,
e
, vamos usar a regra do produto para derivar
. A regra do produto diz que se temos uma função
, então a derivada
é:
Passo 4
Agora, vamos identificar
e
. Precisamos calcular as derivadas dessas duas funções separadamente.
Passo 5
Vamos derivar
:
Para derivar uma função exponencial da forma
, onde
é uma função de
, usamos a regra da cadeia. A derivada é:
No nosso caso,
, então
. Assim:
Passo 6
Agora, vamos derivar
:
A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 7
Com as derivadas de
e
calculadas, vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo pelos valores que encontramos:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão fatorando
:
Resposta
A derivada da função
é: