Calcule a derivada das seguintes funções:
y=e^tg x-x+ln (x^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função:
y = e^tan x-x + ln(x^2 + 1)
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem frações e funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da fração. Temos uma função y = uv , onde:
u = e^tan x
v = -x + ln(x^2 + 1)
Para encontrar a derivada y' , usaremos a regra do quociente, que diz:
y' = u'v - uv'v^2
Então, precisamos encontrar as derivadas de u e v .

Passo 3

Vamos calcular u' . Sabemos que u = e^tan x . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de e^f(x) é e^f(x) cdot f'(x) . Aqui, f(x) = tan x , então:
u' = e^tan x cdot ddx(tan x)
A derivada de tan x é sec^2 x , então:
u' = e^tan x cdot sec^2 x

Passo 4

Agora, vamos calcular v' . Temos v = -x + ln(x^2 + 1) . Derivando termo a termo:
  • A derivada de -x é -1 .
  • Para ln(x^2 + 1) , usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de ln(f(x)) é f'(x)f(x) , onde f(x) = x^2 + 1 .
Então,
ddxln(x^2 + 1) = 2xx^2 + 1
Portanto,
v' = -1 + 2xx^2 + 1

Passo 5

Agora que temos u' e v' , vamos aplicar a regra do quociente:
y' = u'v - uv'v^2
Substituindo os valores:
y' = e^tan x cdot sec^2 x cdot (-x + ln(x^2 + 1)) - e^tan x cdot (-1 + 2xx^2 + 1)(-x + ln(x^2 + 1))^2

Passo 6

Podemos simplificar um pouco a expressão fatorando e^tan x no numerador:
y' = e^tan x [ sec^2 x cdot (-x + ln(x^2 + 1)) + 1 - 2xx^2 + 1 ](-x + ln(x^2 + 1))^2
Essa é a forma simplificada da derivada.

Resposta

A derivada da função é:
y' = e^tan x [ sec^2 x cdot (-x + ln(x^2 + 1)) + 1 - 2xx^2 + 1 ](-x + ln(x^2 + 1))^2

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