Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem frações e funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da fração. Temos uma função
, onde:
Para encontrar a derivada
, usaremos a regra do quociente, que diz:
Então, precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
é
. Aqui,
, então:
A derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Temos
. Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - Para
, usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de é , onde .
Então,
Portanto,
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo os valores:
Passo 6
Podemos simplificar um pouco a expressão fatorando
no numerador:
Essa é a forma simplificada da derivada.
Resposta
A derivada da função é: