Considere a curva dada por x^2+x y+y^2=3.
Determine uma expressão para y^prime=d yd x em termos de x e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação da curva: x^2 + x y + y^2 = 3 . O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, y' = dydx . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde y está misturado com x .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x . Lembre-se que quando a gente deriva algo que depende de y , a gente precisa multiplicar pela derivada de y em relação a x ( y' ).
Derivando termo a termo:
  • Derivada de x^2 em relação a x é 2x .
  • Derivada de x y em relação a x usa a regra do produto: a derivada de x é 1 multiplicado por y mais x multiplicado pela derivada de y , que é y' . Então, ddx(x y) = y + x y' .
  • Derivada de y^2 em relação a x usa a regra da cadeia: a derivada de y^2 é 2y multiplicado por y' . Então, ddx(y^2) = 2y y' .

Passo 3

Agora, colocando tudo isso na equação derivada:
2x + y + x y' + 2y y' = 0
Isso é igual a zero porque a derivada da constante 3 é zero.

Passo 4

Nosso objetivo é isolar y' . Vamos juntar os termos que têm y' e os que não têm:
x y' + 2y y' = - (2x + y)
Agora, podemos fatorar y' do lado esquerdo:
y' (x + 2y) = - (2x + y)

Passo 5

Para encontrar y' , basta dividir ambos os lados pela expressão que está multiplicando y' :
y' = - (2x + y) x + 2y = -2x - y x + 2y
Mas geralmente a gente simplifica retirando o sinal negativo do numerador, então fica:
y' = 2x + y -x - 2y = 2x + y -(x + 2y)

Resposta

A derivada de y em relação a x é:
y' = -2x - y x + 2y

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