Considere a curva dada por
.
Determine uma expressão para
em termos de
e
.
Determine uma expressão para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação da curva:
. O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde
está misturado com
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que quando a gente deriva algo que depende de
, a gente precisa multiplicar pela derivada de
em relação a
(
).
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a usa a regra do produto: a derivada de é 1 multiplicado por mais multiplicado pela derivada de , que é . Então, . - Derivada de
em relação a usa a regra da cadeia: a derivada de é multiplicado por . Então, .
Passo 3
Agora, colocando tudo isso na equação derivada:
Isso é igual a zero porque a derivada da constante 3 é zero.
Passo 4
Nosso objetivo é isolar
. Vamos juntar os termos que têm
e os que não têm:
Agora, podemos fatorar
do lado esquerdo:
Passo 5
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Mas geralmente a gente simplifica retirando o sinal negativo do numerador, então fica:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: