Determine uma equaçăo da reta tangente à curva
, no ponto (1, 1).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto (1, 1). Para isso, vamos usar derivadas implícitas, que fazem parte do cálculo diferencial. Basicamente, vamos descobrir a inclinação da reta tangente nesse ponto específico e, com isso, montar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Como a equação tem
que também depende de
, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia durante a diferenciação.
A equação é:
Vamos diferenciar cada termo:
- Diferenciando
:
- Diferenciando
:
- Diferenciando
:
- Diferenciando
:
- Diferenciando
:
Passo 3
Agora, juntando todas as derivadas:
Vamos agrupar os termos com
de um lado e os demais do outro:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Vamos calcular
no ponto (1, 1). Substituímos
e
na expressão:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto (1, 1) é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto (1, 1), podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde
.
Substituindo:
Podemos deixar a equação mais arrumada, se preferir:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto (1, 1) é: