Determine uma equaçăo da reta tangente à curva x^2 y+x y^2-5 x y=x^3-4, no ponto (1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por x^2 y + x y^2 - 5 x y = x^3 - 4 no ponto (1, 1). Para isso, vamos usar derivadas implícitas, que fazem parte do cálculo diferencial. Basicamente, vamos descobrir a inclinação da reta tangente nesse ponto específico e, com isso, montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Como a equação tem y que também depende de x, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia durante a diferenciação.
A equação é:
x^2 y + x y^2 - 5 x y = x^3 - 4
Vamos diferenciar cada termo:
  1. Diferenciando x^2 y:
ddx(x^2 y) = 2x y + x^2 dydx
  1. Diferenciando x y^2:
ddx(x y^2) = y^2 + 2x y dydx
  1. Diferenciando -5 x y:
ddx(-5 x y) = -5 y - 5 x dydx
  1. Diferenciando x^3:
ddx(x^3) = 3x^2
  1. Diferenciando -4:
ddx(-4) = 0

Passo 3

Agora, juntando todas as derivadas:
2x y + x^2 dydx + y^2 + 2x y dydx - 5 y - 5 x dydx = 3x^2
Vamos agrupar os termos com dydx de um lado e os demais do outro:
(x^2 + 2x y - 5x) dydx = 3x^2 - 2x y - y^2 + 5 y
Agora, isolamos dydx:
dydx = 3x^2 - 2x y - y^2 + 5 yx^2 + 2x y - 5x

Passo 4

Vamos calcular dydx no ponto (1, 1). Substituímos x = 1 e y = 1 na expressão:
dydx = 3(1)^2 - 2(1)(1) - (1)^2 + 5(1)(1)^2 + 2(1)(1) - 5(1)
dydx = 3 - 2 - 1 + 51 + 2 - 5
dydx = 5-2
dydx = -52
Então, a inclinação da reta tangente no ponto (1, 1) é -52.

Passo 5

Com a inclinação m = -52 e o ponto (1, 1), podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m (x - x0)
Onde (x0, y0) = (1, 1).
Substituindo:
y - 1 = -52 (x - 1)
Podemos deixar a equação mais arrumada, se preferir:
y = -52 x + 52 + 1
y = -52 x + 72

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1, 1) é:
y = -52,x + 72

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