Seja f uma função derivável tal que f^prime(1)=4. Determine o valor do limite
lim x 1 f(x)-f(1)x^2-1
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

Neste exercício temos uma função diferenciável f com f'(1)=4, e queremos calcular o limite limxto1f(x)-f(1)x^2-1. O conteúdo principal aqui é a definição de derivada e fatoração de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador usando identidade notável:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Isso nos permite reescrever o quociente como o produto de dois termos:
$$
\frac{f(x)-f(1)}{x^2 - 1}

\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot\frac{1}{x+1}.
$$

Passo 3

Quando xto1, o primeiro fator f(x)-f(1)x-1 tende a f'(1) pela definição de derivada, e o segundo fator 1x+1 tende a tfrac12. Usando a propriedade de limites de produto, temos:
$$
\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x^2-1}

\bigl(\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\bigr)\cdot\bigl(\lim_{x\to1}\tfrac{1}{x+1}\bigr)
=f’(1)\cdot\tfrac{1}{2}.
$$

Passo 4

Por fim, substituindo f'(1)=4, obtemos 4cdottfrac12=2, que é o valor do limite.

Resposta

2

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