Seja
uma função derivável tal que
. Determine o valor do limite
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Passo 1
Neste exercício temos uma função diferenciável
com
, e queremos calcular o limite
. O conteúdo principal aqui é a definição de derivada e fatoração de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador usando identidade notável:
Isso nos permite reescrever o quociente como o produto de dois termos:
$$
\frac{f(x)-f(1)}{x^2 - 1}
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot\frac{1}{x+1}.
$$
Passo 3
Quando
, o primeiro fator
tende a
pela definição de derivada, e o segundo fator
tende a
. Usando a propriedade de limites de produto, temos:
$$
\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x^2-1}
\bigl(\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\bigr)\cdot\bigl(\lim_{x\to1}\tfrac{1}{x+1}\bigr)
=f’(1)\cdot\tfrac{1}{2}.
=f’(1)\cdot\tfrac{1}{2}.
$$
Passo 4
Por fim, substituindo
, obtemos
, que é o valor do limite.
Resposta
2