Calcule a derivada das seguintes funções:
f(z)=z+3 z^22-9 z^3

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função f(z) = z + 3z^22 - 9z^3 . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica de cálculo de derivadas para funções que são frações de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, identificamos as duas partes da função: o numerador e o denominador. Vamos chamar:
  • u(z) = z + 3z^2 (numerador)
  • v(z) = 2 - 9z^3 (denominador)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de u(z) e v(z) . Vamos começar com u(z) .

Passo 4

Derivando u(z) = z + 3z^2 :
  • A derivada de z é 1.
  • A derivada de 3z^2 é 6z .
Então, u'(z) = 1 + 6z .

Passo 5

Derivando v(z) = 2 - 9z^3 :
  • A derivada de 2 é 0.
  • A derivada de -9z^3 é -27z^2 .
Portanto, v'(z) = -27z^2 .

Passo 6

Aplicamos a regra do quociente, que diz que a derivada de uv é:
f'(z) = u'(z) cdot v(z) - u(z) cdot v'(z)[v(z)]^2
Substituindo u(z) , u'(z) , v(z) e v'(z) :
f'(z) = (1 + 6z)(2 - 9z^3) - (z + 3z^2)(-27z^2)(2 - 9z^3)^2

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, multiplicamos (1 + 6z) por (2 - 9z^3) :
1 cdot 2 = 2
1 cdot (-9z^3) = -9z^3
6z cdot 2 = 12z
6z cdot (-9z^3) = -54z^4
Somando esses termos:
2 + 12z - 9z^3 - 54z^4
Segundo, multiplicamos (z + 3z^2) por -27z^2 :
z cdot (-27z^2) = -27z^3
3z^2 cdot (-27z^2) = -81z^4
Somando esses termos:
-27z^3 - 81z^4

Passo 8

Substituímos de volta no numerador:
2 + 12z - 9z^3 - 54z^4 - (-27z^3 - 81z^4) = 2 + 12z - 9z^3 - 54z^4 + 27z^3 + 81z^4
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
2 + 12z + ( -9z^3 + 27z^3 ) + ( -54z^4 + 81z^4 ) = 2 + 12z + 18z^3 + 27z^4

Passo 9

Finalmente, substituímos tudo na derivada:
f'(z) = 2 + 12z + 18z^3 + 27z^4(2 - 9z^3)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(z) = 2 + 12z + 18z^3 + 27z^4(2 - 9z^3)^2

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