Mostre que 2 raiz3 cdot sumn=0^+infty (-1)^n3^n cdot(2 n+1)=pi Sugestão: Utilize (arctg(x))=11+x^2 ; arctg(pi6)=1raiz3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
2raiz3,sumn=0^+infty(-1)^n3^n,(2n+1)=pi,
usando a série de Taylor de arctg(x) e o valor arctg(1/raiz3)=pi/6. Precisaremos do fato de que
ddxl(arctg(x)r)=11+x^2
e da expansão em série de potências de 1/(1+x^2).

Passo 2

Vamos lembrar que, para |x|<=1,
11+x^2 =sumn=0^infty(-1)^nx^2n
Integrando termo a termo de 0 a x, obtemos a série de Maclaurin de arctg(x):
arctg(x) =integral0^x11+t^2,dt =sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+12n+1

Passo 3

Agora substituímos x=1/raiz3. Como arctg(1/raiz3)=pi/6, temos
pi6 =sumn=0^infty(-1)^n,(1/raiz3)^2n+12n+1 =sumn=0^infty(-1)^n,1raiz3,3^n,(2n+1)

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da igualdade acima por raiz3, obtendo
pi6,raiz3 =sumn=0^infty(-1)^n,13^n,(2n+1)

Passo 5

Finalmente, multiplicamos essa expressão por 2raiz3:
2raiz3,sumn=0^infty(-1)^n3^n,(2n+1) =2raiz3,pi6,raiz3 =2cdot3,pi6 =pi

Resposta

2raiz3,sumn=0^+infty(-1)^n3^n,(2n+1)=pi

Exercícios relacionados