O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos usar que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não zera, e depois verificar a existência do limite em (0,0).]
Passo 2
Se (x,y)neq(0,0), então ;x^2+xy+y^2
é sempre positivo (é uma forma quadrática definida), logo não se anula. Como produto e soma de polinômios são contínuos e divisão por função não nula preserva continuidade, concluímos que f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Falta checar continuidade em (0,0). Precisamos ver se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e vale f(0,0)=0. Para isso, analisamos o limite ao longo da reta y=kx (com k fixo):