Determine os pontos de continuidade de:
f(x, y)=clx yx^2+x y+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=xyx^2+xy+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt]0,&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos usar que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não zera, e depois verificar a existência do limite em (0,0).]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então
;x^2+xy+y^2
é sempre positivo (é uma forma quadrática definida), logo não se anula. Como produto e soma de polinômios são contínuos e divisão por função não nula preserva continuidade, concluímos que f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Falta checar continuidade em (0,0). Precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e vale f(0,0)=0. Para isso, analisamos o limite ao longo da reta y=kx (com k fixo):

Passo 4

Substituindo y=kx em f(x,y) para xneq0 obtemos
f(x,kx) =x,(kx)x^2+x,(kx)+(kx)^2 =k,x^2x^2(1+k+k^2) =k1+k+k^2
Isso mostra que
limxto0f(x,kx)=k1+k+k^2,
que depende de k. Como diferentes valores de k dão limites distintos, o limite em (0,0) não existe.

Resposta

A função f é contínua em todo (x,y) com (x,y)neq(0,0) e não é contínua em (0,0).

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