Calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=1-cos x1+cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função g(x) = 1 - cos x1 + cos x . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando a regra do quociente para derivadas. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a x . Basicamente, ela nos diz o quão rápido a função está mudando em um ponto específico.

Passo 3

Agora, como a nossa função g(x) é um quociente de duas funções, vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos uma função f(x)h(x) , a derivada dessa função é:
( f(x)h(x) )' = f'(x)h(x) - f(x)h'(x)[h(x)]^2

Passo 4

Vamos identificar f(x) e h(x) na nossa função:
  • f(x) = 1 - cos x
  • h(x) = 1 + cos x
Agora, precisamos encontrar f'(x) e h'(x) .

Passo 5

Vamos derivar f(x) = 1 - cos x :
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de -cos x é sin x , porque a derivada de cos x é -sin x .
Então, f'(x) = 0 + sin x = sin x .

Passo 6

Agora, vamos derivar h(x) = 1 + cos x :
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de cos x é -sin x .
Então, h'(x) = 0 - sin x = -sin x .

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
g'(x) = f'(x)h(x) - f(x)h'(x)[h(x)]^2 = sin x (1 + cos x) - (1 - cos x)(-sin x)(1 + cos x)^2

Passo 8

Vamos simplificar o numerador:
sin x (1 + cos x) - (1 - cos x)(-sin x) = sin x + sin x cos x + sin x - sin x cos x = 2sin x

Passo 9

Então, a derivada fica:
g'(x) = 2sin x(1 + cos x)^2

Resposta

A derivada da função g(x) = 1 - cos x1 + cos x é:
g'(x) = 2sin x(1 + cos x)^2

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